4.2.2 Integração por Monte Carlo

Uma integração de uma equação pelo método de Monte Carlo consiste em analisar uma amosta de uma distribuição de pontos que probabilisticamente está contido na área abaixo da curva da equação de interesse. Pragmaticamente observemos a figura 4.2, temos uma equação quadrática centrada em zero. O que desejamos obter é a integral desta equação nos intervalos $x_i$ e $x_f$.

Figura 4.2: Representação gráfica dos sorteios para integração com o método Monte Carlo. Obs.: xi, xf, yi e xf são os limites do quadrado definido e não os valores de f(xi), f(xf), ...

O método de Monte Carlo nos leva à seguinte relação:

$$\frac{\text{área abaixo da curva}}{\text{área do quadrado}} = \... ...I}{(x_f - x_i)*(y_f - y_i)}=\frac{\text{número de acertos}}{\text{tentativas}}$$ (4.2.4)

$$\frac{\text{número de acertos}}{\text{tentativas}} = \frac{\text{círculos preenchidos}}{\text{círculos preenchidos + não preenchidos}}$$ (4.2.5)

assim

$$I=\frac{\text{número de acertos}}{\text{tentativas}} * (x_f - x_i)*(y_f - y_i)$$ (4.2.6)

o que entendemos como número de acertos é a quantidade de círculos que foram sorteados abaixo da curva (círculos preenchidos) e as tentativas é a soma dos círculos não preenchidos e preenchidos, ou simplesmente o números total de pontos sorteados.

Cada ponto (x, y) sorteado deve estar contido dentro do quadrado maior onde $x_i \le x \le x_f$ e $y_i \le y \le y_f$. Para o que chamamos de número de acertos, o ponto sorteado além de satisfazer a condição anterior deve satisfazer também a condição de $y \le f(x)$, este ponto seria representado pelo círculo preenchido. Para todo ponto cujo $y > f(x)$ o ponto estaria sendo representado pelos círculo abertos.

Para aplicar o método de integração de Monte Carlo vamos utilizar a equação 4.2.7.

$$I = \int \limits_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{4}= 0.78540$$ (4.2.7)

Outra possibilidade é estimar o valor de $\pi$, considerando um quadrado de lado 2 e dentro desse quadrado uma circunferência de raio igual a 1. Assim considerando a equação 4.2.6 teremos a equação 4.2.8.

$$\frac{A_{circulo}}{A_{quadrado}} = \frac{\pi 1^2}{2 \times 2} = \frac{\pi}{4} \rightarrow \pi = \frac{4 \times N_{acertos}}{N_{tentativas}}$$ (4.2.8)