4.1 Raízes de funções e aproximações numéricas de funções

Dentre os métodos para encontrar raízes de uma equação utilizaremos o método de Newton-Raphson (NR). O método de NR é um método interativo recursivo, isto significa que um resultado depende do resultado anterior e assim sucessivamente. Na medida em que se encontra um resultado o método nos leva para uma raiz, assim a raiz que se deseja encontrar depende do chute inicial e do tipo da equação que se gostaria de estudar. O método NR é dado pela equação 4.1.1.

$$x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$ (4.1.1)

A representação gráfica pode ser dada pela figura 4.1.

Figura 4.1: Representação gráfica do método NR.

Na figura podemos acompanhar os passos dados pelo método NR. Dado o valor de $i=1$, temos $x_1$, $f(x_1)$ e $f'(x_1)$ e assim encontramos o valor de $x_2$ através da reta tangente que passa por $P_1$. Em um segundo passo com o valore de $x_2$ encontraremos o valor de $x_3$ e por fim o valor da raiz dado por $x_n$ dentro de um critério de parada. É possível observar que cada passo o valor de $x$ se aproxima da raiz e como podemos observar o chute inicial (o primeiro valor de $x$ é muito importante para o sucesso de se encontra a raiz. Outro detalhe é que para o método de NR é necessário saber a derivada de $f(x_1)$, ou seja, $f'(x_1)$ no ponto de $x_1$.

A derivada da equação pode ser encontrada basicamente de duas maneiras, uma delas é feita a mão, entende-se analiticamente e a outra forma numericamente. Muitas vezes a equação possui pontos de inflexão e acabam por não ser deriváveis em um ponto específico e até mesmo não sendo analíticas. No entanto um método numérico pode resolver alguns desses problemas, por exemplo o da derivada de um ponto de inflexão. Um desses métodos de derivação numérica em um ponto é o Método das Diferenças Finitas (MDF).

O método é simples e pode ser iniciado da seguinte forma: partindo da definição de derivada e assumindo que entre $x$ e $x+\Delta x$ podemos ter um segmento de reta definimos a derivada à direita de $x$ como:

$$f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ (4.1.2)

assim a derivada à esquerda de $x$ é dada por:

$$f'(x)=\frac{f(x) - f(x-\Delta x)}{\Delta x}$$ (4.1.3)

As equações 4.1.2 e 4.1.3 para $\Delta x \rightarrow 0$ leva ao mesmo resultado, no entanto para $\Delta x$ finito elas levam para aproximações distintas. A forma centradas das equações 4.1.2 e 4.1.3 geralmente é mais utilizada, tem a forma da equação 4.1.4:

$$f'{x}=\frac{f(x+\Delta x) - f(x-\Delta x)}{2 \Delta x}$$ (4.1.4)

a forma acima é conhecida como MDF de primeira ordem. Pode ser utilizada também a MDF de segunda ordem como na equação 4.1.5.

$$f''{x}=\frac{f'(x+\Delta x) - f'(x)}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x) + f(x-\Delta x) - 2f(x)}{ \Delta x^2}$$ (4.1.5)

Com a equação 4.1.1 temos o método de NR para encontrar as raízes de uma equação e com a equação 4.1.4 um método para encontrar a derivada de uma equação em um ponto $x$ desejado. Combinando as duas equações temos a forma final para encontrar raízes de uma equação totamlente numérica, dado pela equação 4.1.6.

$$x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{ \left ( \frac{f(x_i +\Delta x_i ) - f(x_i - \Delta x_i )}{ 2 \Delta x_i} \right ) }$$ (4.1.6)

Atividade: Iremos desenvolver um programa de forma mais genérica possível que encontre as raízes de uma equação utilizando o Método NR juntamente com o método MDF. Utilizaremos as equações:

$$f(x)=x^2 -5$$ (4.1.7)

$$f(x)=(x^4 -10x^2) e^{-x} + 1$$ (4.1.8)

Observações

• Como dito anteriormente o método NR é interativo iniciando-se com um dado $x_1$, encontra-se $x_2$ e assim por diante. O critério de parada é dado pelo próprio usuário/desenvolvedor fazendo uma verificação entre passos. Quando uma diferença entre passos atingir valores menor que $1,0 \times 10^{-6}$ podemos assumir que o $x_n$ encontrado é um bom valor para a raiz. O valor da precisão é adaptável dependendo do tipo de problema no qual estamos trabalhando;
• Encontre um valor de $\Delta x$ para o método de MDF que seja coerente com a precisão que está utilizando no método de NR;
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