7.4 Equilíbrio

O que fazer o programa de Monte Carlo baseado no modelo de Ising ? Gostaríamos de responder algumas perguntas como ``Qual é a magnetização em uma data temperatura ?'', ou ``Como é que a energia interna se comporta em função da variação da temperatura ?'' Para responder a essas questões que teremos que realizar dois processos: primeiro temos que executar a simulação para um intervalo de tempo suficientemente longo de tempo até o sistema atingir o equilíbrio para a temperatura desejada, este intervalo de tempo é chamado de tempo de equilíbrio $\tau_{eq}$, e então medir a propriedade de interesse para vários intervalos de tempos suficientemente longos tomando a média dessa propriedade. Isso nos leva à várias outras questões. O que exatamente queremos dizer com `` o sistema entrar em equilíbrio ?'' E qual a quantidade de tempo para um intervalo de tempo suficientemente longo'' para que isso aconteça ? Como mediremos a propriedade de interesse, e quantos intervalos de tempo suficientemente longo necessitamos para calcular a média da propriedade de interesse a fim de obter um resultado com um determinado grau de precisão ? Estas questões gerais devem ser consideradas toda vez que é realizado um cálculo de Monte Carlo. Embora a discussão destas questões serão sobre simulações com o modelo de Ising, as conclusões são aplicáveis a todos os outros cálculos de equilíbrio de Monte Carlo.

``Equilíbrio'' significa que a probabilidade média de encontrar o nosso sistema em um determinado estado qualquer $\mu$ é proporcional ao peso de Boltzmann $e^{-\beta E\mu}$ do estado. Se iniciarmos nosso sistema com estados como a $T = 0$ ou $T = \infty$, como descritos anteriormente, levará alguns passo até alcançar o equilíbrio. Lembre-se que um sistema em equilíbrio passa a esmagadora maioria do seu tempo em um pequeno subconjunto de estados em que sua energia interna e outras propriedades assume uma estreita faixa de valores. A fim de obter uma boa estimativa do valor de equilíbrio de qualquer propriedade do sistema será necessário aguardar até que sistema encontre o seu caminho em um dos estados que se encaixam nesta estreita faixa de valores.

Na versão do algoritmo de Metropolis que que foi descrita aqui, o flip do spin é realizado um de cada vez (escolhido aleatóriamente) o que poderá levar um grande número de passos até obter a sequência correta de spins up e down que minimiza a energia. Esperamos utilizar $N$ passos de Monte Carlo até alcançar a energia correta, em que $N$ é números de spins da rede, lembrando que devemos dar a chance de flip para todos os spins da rede. Como exemplo consideremos uma rede de $100 \times 100$ spins, assumindo $J=1$, partindo do estado inicial $T = 0$ aquecemos o sistema até a $T=2,4$, para que o sistema atinja o equilíbrio serão necessários aproximadamente $10^7$ passos.

Mesmo com esta quantidade de passos é necessário verificar as propriedades para ver se realmente o sistema está no equilíbrio. Uma maneira fazer um gráfico da magnetização por spin $m$ do sistema ou da energia do sistema $E$, em função dos passos da simulação. A energia de um determinado estado pode ser calculado utilizando todos os valores dos spins $s_i$ no Hamiltoniano da Eq. 1. Com o gráfico é fácil perceber quando o perfil da curva alcança a estabilidade, o que significa que a energia e a magnetização não variam além de um certo limite flutuando apenas em torno de um valor médio constante.

Analisando o equilíbrio de um sistema pelo ``olhômetro'' em um gráfico pode até ser um método razoável, desde que saibamos que o sistema irá entrar em equilíbrio de uma forma suave e previsível. O grande problema é que nem sempre conhecemos o comportamento do sistema até alcançar o equilíbrio. Em muitos casos é possível que o sistema fique preso em algum mínimo local por um certo tempo, assim o gráfico apresenta valores constantes para todas as quantidades que estamos observando parecendo ter atingido o equilíbrio. É possível haver um mínimo de energia local em que o sistema permanece temporariamente, parecendo ter atingido o mínimo global de energia, que é a região do espaço de estado que o sistema de equilíbrio é mais provável. Para evitar essa armadilha, podemos realizar duas simulações diferentes de um mesmo sistema, partindo de dois estados iniciais um no estado $T = 0$ com todos os spins alinhados e outro estado $T = \infty$ com todos os spins aleatórios. Outra possibilidade é escolher dois diferentes estados $T = \infty$ (sementes do número aleatório diferentes). Em seguida, observamos o valor da magnetização ou da energia nos dois sistemas, ao estabilizar o perfil da curva e ambas simulações apresentarem valores semelhantes podemos assumir que ambos os sistemas atingiram o equilíbrio.