5.1 Método de Euler

O método de Euler consiste em resolver uma equação diferencial ordinária. Em geral podemos dizer que foi o primeiro método numérico e também que é uma série de Taylor truncada na primeira derivada.

Consideramos que a equação abaixo:

$$\frac{dx}{dt} = f(x,t)$$ (5.1.1)

em que $x$ e $t$ são variáveis dependentes e independentes, respectivamente. A $f(x,t)$ é em geral uma função das variáveis dependentes e independentes. A equação 5.1.1 pode ser escrita na forma de limites como na equação 5.1.7.

$$\frac{dx}{dt} = \lim \limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$$ (5.1.2)

assim para um infinitesimal de $t$ discretizamos a equação 5.1.1 na forma da equação 5.1.7, sendo que a equação 5.1.7 pode ser escrita da forma da equação 5.1.3:

$$\lim \limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim \limits_{\Delta t \to 0} \frac{x_{n+1} - x_n}{\Delta t}$$ (5.1.3)

combinando as equações 5.1.1 e 5.1.3 teremos:

$$\frac{x_{n+1} - x_n}{\Delta t} = f(x_n,t_n)$$ (5.1.4)

ou simplemente:

$$x_{n+1} = x_n + f(x_n,t_n) \Delta t$$ (5.1.5)

assim com a equação 5.1.5, dado um conjunto de pontos $f(x_0,t_0)$ é possível obter os valores de $x_1, x_2, \ldots, x_k$, onde $0 \le k \le n+1$.

A forma da equação 5.1.5 é muito útil quando conhecemos e não conhecemos a forma analítica de equações do tipo da equação 5.1.1.

Atividade #1

Dada a equação abaixo:

$$y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$ (5.1.6)

teremos a função será:

$$\frac{dy(t)}{dt} = f(y_n,t_n) = v_0 + at$$ (5.1.7)

este movimento pode ser assumido como um lançamento de um projétil com condições iniciais $y_0 = 0$, $\vert\vec{g}\vert=9,8 m/s^2$, $\theta=30^{\circ}$ e $v_0 = 25 m/s$, calcule a trajetória da partícula experimentando vários valores de $\Delta t$ (4 valores está bom). Expresse o seu resultado em um gráfico.

Atividade #2

$$\frac{dy}{dx} = f(y,x) = -xy; y(0)=1$$ (5.1.8)

Observe que neste caso temos uma condição inicial, para $x=0$, $y(x)=y(0)=1$. A partir da condição inicial, o valor de $x$ evolui em passo de $\delta x$ e $y$ evolui conforme a função data. Para valores entre $0 \le x \le 3$, utilize diferentes valores de delta e compare com a solução exata que é $y=exp(-x^2/2)$.